Csound y Midi!...

kurosawa
#16 por kurosawa el 01/07/2005
Oye muy buena la pagina de nonlinearinstruments. Acabo de visitarla y estoy flipando. En cuanto tenga un hueco me escucho los mp3 y pruebo los .csd.
Por curiosidad ignasi, porq te planteaste implementar estos instrumentos?
Me llama mucho la atencion porq es una de las ideas q tenia, queria empezar implementando el mapa logistico pero mis conocimientos sobre la materia (matematica no lineal) no son muy buenos. Podrias recomendarme algun libro para empezar a adentrarme en el tema: atractores, algoritmos no-lineales, caos y procesos estocasticos...
Otra cosa, no se si sabes q existen unos cuantos opcodes en Csound que ya implementan atractores como el de lorenz. Echale un vistazo al manual de csound y lo encontraras.
Bueno, me alegra muxo ver q hay gente interesada en este campo.
Enhorabuena y un saludo
Subir
ignasi
#17 por ignasi el 01/07/2005
Gracias Kurosawa, me alegra mucho que te haya interesado. El asunto este de los atractores extraños lo tenía aparcado desde por lo menos los tiempos del 486 y Csound 2 ... creo que a principios de los noventa las "matemáticas del caos" fueron como una especie de moda entre los estudiantes, ya que en ese momento era de lo más interesante que podía hacerse con los ordenadores (con audio a 12 bits, sin apenas video, sin todas las facilidades de alto nivel de ahora y el abrumador mundo de plug-ins etc.) con el PC a 66 MHz se podía perfectamente hacer esto con Csound, pero al no poder variar los parámetros a tiempo real era muy difícil hacer los ajustes o siquiera tener una impresión de qué estaba realmente ocurriendo para ir calibrando el algoritmo, por lo que lo abandoné hasta que, hace un par de meses, charlando con mis colegas de Máquina de Turing (http://www.maquinadeturing.tk) salió el tema y al echar una ojeada a ver en qué punto estaba ahora el Csound me encuentro con la pequeña maravilla de Matt Ingalls... a partir de ahí está todo a la vista.

En cuanto a recomendaciones de libros, quizá debería preparar una bibliografía más formalmente, pero hay dos o tres que he leido y releido y con los que además de disfrutar mucho creo que he podido entender bastantes cosas de ese "mundo no-lineal" : te copio las entradas de Amazon, pero no son difíciles de conseguir en cualquier buena librería :

1)

La Geometria Fractal De La Naturaleza
by Benoit Mandelbrot

http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/de ... s&n=507846

En este hay poca ayuda concreta con las ecuaciones, pero pinta las ideas fundamentales de este campo con un estilo increíblemente agradable. Mandelbrot no solamente es uno de los matemáticos clave en el nacimiento de esta rama sino que además es un erudito y un fino humorista. Definitivamente imprescindible.

2)

Chaos and Fractals: New Frontiers of Science
by Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens, Dietmar Saupe

http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/de ... s&n=507846

Con un estilo un poco más académico que Mandelbrot pero con mucho más contenido manejable en forma de recetas y métodos listos para utilizar (incluso con código en BASIC), de este libro sale casi todo lo que ves en mi web.


3)

Perspectives of Nonlinear Dynamics: Volume 1
by E. Atlee Jackson

http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/de ... s&n=507846

Un libro bastante técnico, quizá un poco difícil si no tienes un poco de base matemática, pero muy clarividente en el planteamiento de las relaciones entre topología y dinámica y lleno de recetas listas para usar: muy valioso e inspirador.

El tema es que no hace falta profundizar en todas las implicaciones de esas matemáticas (que no son sencillas) para poder manejar esas recetas numéricas tan divertidas: basta con pillar la idea y de las ecuaciones de los libros a las lineas de código en csound o similar va bastante poco. De todas formas, creo que hay mucho más que podría hacerse con esto de lo que yo he sido capaz hasta ahora: las propiedades del caos (puntos periódicos densos, mezcolanza y sensibilidad a las condiciones inciales) creo que deben poderse explicitar con sonido, pero sigo teniendo muchas dudas... así por ejemplo, creo que he conseguido algo parecido a un chorus intrínseco utilizando dos atractores idénticos simultáneamente pero partiendo de valores de los parámteros ligeramente distintos (sensibilidad a las condiciones iniciales), pero sigo sin intuïr de qué forma podría utilizarse el teclado (las 128 notas) también "intrínsecamente" (no estoy nada satisfecho de lo que he hecho hasta ahora que es utilizarlo para variar el "salto de integración" o sea la afinación, siguiendo una escala temperada : es bastante antiestético y no surge de las ecuaciones del atractor, sino que es como un emplaste !! el temperamento tiene sentido en un contexto harmónico, es decir lineal, y aquí estamos con un sistema inharmónico... en fin... que a ver si nos lee álguien que sepa de matemáticas de verdad y nos puede echar una mano con esto)

En cuanto al opcode lorenz de Csound, es de 1999 y mis pruebas con estos atractores empezaron un poco antes, de modo que no existía... además, me interesa poder controlar exactamente la implementación del sistema de ecuaciones porque los detalles del método de integración que se utilice influyen en el rango de valores en que el sistema mantiene la estabilidad: con el opcode lorenz eso queda escondido... además, lorenz es solamente uno de los atractores que se prestan a este tipo de implementaciones, y si bien es de lo más potente, hay otros que no están mal y que no existen como opcode, lo que es un ejemplo de como a veces imponerse limitaciones (no utilizar opcodes sino implementar directamente las ecuaciones) te da mayor libertad (con el mismo método se pueden probar distintos tipos de atractores, mientras que hay un solo opcode lorenz)

Un saludo


Ignasi Álvarez
Subir
ignasi
#18 por ignasi el 01/07/2005
Ah !! hace poco descubrí en internet a un profesor de la escuela de música de Carolina del Sur que también ha explorado este tema, aunque con un enfoque distinto al mío : parece que utiliza los atractores como señales de control y no directamente como fuente de audio, pero su música me pareció muy buena :

http://www.music.sc.edu/fs/bain/music/sals/index.htm

Y otro maestro que, aunque no lo parezca, pues su trabajo son esculturas sonoras, me da la impresión de que se mueve en un mundo no-lineal muy parecido :

http://homepage.mac.com/sennd/
Subir
Robakun
#19 por Robakun el 02/07/2005
Hola ignasi, gracias por los link, parecen interesantes. Lo fascinante quizás del tema, es que nunca puedes afirmar que ya no habrá más sorpresas, basta variar infimamente un parámetro, para encontrar un efecto inesperado, ¿es así?.

Te quería preguntar algo sobre tu trabajo. Por ejemplo en el código del mapa logístico, exceptuando el dedicado al diseño GUI, y el que configura el bucle del algoritmo, apenas queda un resonador, operando sobre una línea de control. Si la fórmula del atractor está bien definida, la traducción que haces de ella a sonido, es arbitraria claro. Podrías haber elegido, aplicar cada serie de valores, a generar espectros, gránulos, ritmos, y todo el etc que tu quieras. ¿Por qué has decidido "explorar" de esa manera concreta?.

Bueno, no se si he sido claro en la pregunta. Gracias de nuevo, un saludo.
Subir
ignasi
#20 por ignasi el 02/07/2005
si, si, la pregunta está clara y es totalmente acertada. La respuesta no creo que sea tan sencilla ni clara... veamos : primero olvidemos ese resonador que he utilizado en el iterador cuadrático como parche simplemente para suavizar la audición (cuando llevas un rato ya no hay quién aguante esos chirridos, así que entonces mueves el filtro y el oído descansa un poco).
El ejemplo concreto del iterador cuadrático quizá sea el menos apropiado para lo que voy a tratar de explicar, ya que una de las variables del sistema (concretamente dt, el factor de integración) es igual a 1, y ya que multiplica, simplemente no figura en la implementación.
Pongamos por caso el atractor de Lorenz, aquí las variables del sistema son x,y,z y además tenemos un paso de integración dt tambien variable.
Habitualmente, la interpretación que se hace de ese paso de integración es que representa el transcurrir del tiempo, y las otras tres variables x,y,z pueden representar la posición de una partícula en un espacio tridimensional : esta es la interpretación "dinámica" de esas ecuaciones, pero no hay que olvidar que es solo una interpretación : las ecuaciones en si lo que definen es una topología con dimensión fractal (y eso no necesariamente tiene que ser un movimiento... es más abstracto).
Por otra parte tenemos la estructura del audio digital que tiene sus propias características (tiempo discreto, una sola dimensión cuantizada, modularidad, etc.).
De entre todas las intersecciones posibles entre esos dos "espacios" (el fractal contenido en las ecuaciones y el digital del sistema de audio de mi ordenador), la más simple es, creo, la que yo he adoptado.
Así, en esta "transposición", los sucesivos valores de las variables x,y,z (las "series temporales" del sistema) nos dan los valores para cada muestra de audio (incluyendo un factor de "zoom" que permite correr varias veces la iteracion de las ecuaciones para cada valor de la muestra de audio - solamente en las versiones direct control, mediante un parámetro del score); y la relación entre dt y la frecuencia de muestreo es uno a uno y variable de modo que el valor de dt actua como "zoom" temporal de el audio respecto a las ecuaciones, permitiendo aumentar la "frecuencia" de forma controlable mediante un fader en las implementaciones directas y mediante el número de nota en las implementaciones MIDI.
Dicho en otras palabras: lo que me interesa es saber como suenan esas ecuaciones de la forma más directa posible, y ver como de sus propiedades pueden surgir ideas de implementación que permitan poco a poco ir ajustando esos algoritmos a que suenen más y más musicales (por ejemplo lo que ocurre con Rössler cuando mueves las ganancias de x,y,z : algo tan simple como escalar el valor de la serie temporal - multiplicándola por el valor del fader entre -1 y +1 ,- y que si lo imaginas gráficamente sería algo así como rotar y darle la vuelta al atractor, tiene unos resultados sonoros interesantes, parece que actuara un filtro ...). Hay un camino directo hacia la musicalidad que consiste en utilizar simplemente esas ecuaciones como una fuente de modulación con propiedades especiales, mientras la "musicalidad" se asegura por la presencia en el algoritmo de otras técnicas ya establecidas y que no tienen mucho que ver. Es lo que ocurriría, por ejemplo, si utilizas lorenz como suboscilador en un patch clásico de síntesis substractiva: no digo que no pueda ser interesante, pero no es lo que estoy buscando.
Subir
Robakun
#21 por Robakun el 02/07/2005
Hola,

La tentación de quedarse en la interpretación dinámica es, para mi muy fuerte. La primera imágen que me viene ante el atractor de Lorentz,por ejemplo, es un sistema de tres variables parametrizado x(t), y(t), z(t). Como imaginarás, la asociación a tres instrumentos, parámetros musicales, moduladores, etc es automática :D.

Entiendo lo que dices de dt como microscópio matemático (zoom). Pero, entonces, tu interés, se acerca a explorar la dinámica no lineal, ayudado con tu oído. Como el que, independientemente (o no) del resultado estético, representa en un sistema de ejes los resultados de las ecuaciones, ayudado con el ojo. El salto a lo musical, podrías darlo, pero eso requeriría otros compromisos, ¿es así?. Gracias.
Subir
ignasi
#22 por ignasi el 02/07/2005
Gracias a ti, Robakun, pues esas preguntas me obligan a repensarlo todo un poco, con el consiguiente benficio de aclarar mis ideas (de eso se trata con los foros, no ?) No pretendo ser capaz de escapar ni por un momento a la interpretación dinámica, pues no otra cosa son esas implementaciones, lo que quiero decir es que debemos ser conscientes de que esa es solamente una interpretación posible. El atractor de Lorenz no contiene en ninguna parte el que t sea la variable independiente: así lo que tu dices x(t),y(t),z(t) puede ponerse igualmente así : x,y,z,t ... dónde t puede ser el tiempo o no serlo. Otra forma de imaginárse esos atractores es como objetos estáticos de dimensión fractal: desde ese punto de vista, lo que estaríamos haciendo con csound sería simplemente presentarlos en el tiempo (haciendo que x(t),y(t),z(t) se presenten como muestra[t] = x[dt],y[dt],z[dt] - dónde (t) representa el tiempo "físico" contínuo, y [t] el tiempo "digital" discreto). Y de las propiedades de esos objetos y las peculiaridades de su "presentación" en el tiempo es de dónde creo que debería poderse obtener un sintetizador, por decirlo así, musical. Ah !! y no nos olvidemos de los parámetros A,B y C que aquí consideramos variables y que en las matemáticas habituales son fijos : esa es otra cuestión (fíjate que hace falta un portamento para esos parámetros, pues es la única forma de aproximarlos a una variación contínua a partir de la variación cuantizada de los faders, y el sistema es extremadamente sensible a los saltos bruscos en el valor de esos parámetros A,B,C ya que realmente deberían ser CONSTANTES !!). Volviendo a tu comentario anterior sobre la música algorítmica, creo que probablemente toda la música electrónica hecha en digital puede considerarse algorítmica, al menos estrictamente, a pesar de que la mayoría de esa música se hace sin tener conciencia de esos algoritmos (cuando secuenciamos con un sinte multitimbrico y patches orquestales, por ejemplo, estaremos atentos al arreglo, harmonia, etc... pero no al tipo de enventanado del filtro, por decir algo...). Teniendo esto en cuenta, mi intento sería conseguir que esos algoritmos tengan una cierta "vida propia" por su comportamiento no-lineal, y si bien en el estado en que están actualmente ya podríamos hacer música con ellos (aunque sin duda habría que etiquetarla algo así como "noise radical" - muy respetable, por otra parte), la paleta que ofrecen es bastante limitada, en comparación con lo que estamos acostumbrados a conseguir con otro tipo de algoritmos que ya están muchísimo más refinados... no sé... es un trabajo en marcha, pero creo que la sensación que produce mover faders y darse cuenta de que importa no solo la posición del fader sino cómo y desde dónde se llega a ella ya es algo bastante distinto al aburrido "parameter tweaking" de todos los demás sintes que conocemos ...

Un saludo


Ignasi Álvarez
Subir
ignasi
#23 por ignasi el 02/07/2005
--
Subir
ignasi
#24 por ignasi el 02/07/2005
Robakun escribió:
Como imaginarás, la asociación a tres instrumentos, parámetros musicales, moduladores, etc es automática :D..


... eso es porque estás en el digamos nivel macro en el que existen conceptos como instrumentos, parámetros, moduladores ... si bajas al nivel micro, entonces solamente existen ficheros binarios de audio : tantos bits a tal frecuencia de muestreo : en ese nivel es donde hago la ligazón numérica entre x,y,z,t y muestra[t] ... no sé si así te convenceré de que esta si es una asociación AUTOMÁTICA - perdona, no se trata de convencer a nadie... solamente de explicarse y ver si álguien con mejores "skills" de programación que los míos se tira a la piscina :)
Subir
Robakun
#25 por Robakun el 02/07/2005
ignasi escribió:

... eso es porque estás en el digamos nivel macro en el que existen conceptos como instrumentos, parámetros, moduladores ... si bajas al nivel micro, entonces solamente existen ficheros binarios de audio : tantos bits a tal frecuencia de muestreo : en ese nivel es donde hago la ligazón numérica entre x,y,z,t y muestra[t] ... no sé si así te convenceré de que esta si es una asociación AUTOMÁTICA - perdona, no se trata de convencer a nadie... solamente de explicarse y ver si álguien con mejores "skills" de programación que los míos se tira a la piscina :)


Pues de nuevo gracias Ignasi, entiendo el micronivel de la muestra, pero siendo sincero, es verdad, siempre me mueven motivos macro, musicales los llamaba :D.

Y otra pregunta, si no te importa. El interés de los sistemas no lineales, es la diversidad de comportamientos impredecibles , por nuestra intuición (a menudo plana y lineal). Un atractor, por ejemplo, implementado como un modulador de algún parámetro en un synte clásico, afectaría al conjunto, dontándolo de cierta impredicibilidad controlada. Podríamos hacer, por ejemplo, modular la frecuencia con pequeñas fluctuaciones, siempre cambiantes, debidas, como tu decías a "cómo estamos actuando en ese momento". Dicho de forma aun más sencilla, implementar una caja de las sorpresas. ¿es así?


Ahora bien, Lorentz extrajo su ajuste, de un modelo de capas atmosférico: él nunca lo hubiera imaginado antes, verdad?. Para ciertas conciciones (parámetros) los propios modelos matemáticos, se vuelve intuitivamente impredecibles, sin embargo hay cierta regionalidad, uno siempre puede decir dónde ocurre eso más o menos. Y siendo este un modelo, cabe sospechar que lo que se modela, la misma atmosfera, es aun más alineal, con una gravedad que el cálculo diferencial, por definición, nunca podría atrapar. Si fuera posible, enchufar :D, un altavoz a la superficie de agua de un torrente, bajo ciertas condiciones, ya tendríamos ahí efectos todo tipo de alineales, y con mucha suerte nos visitaría algún atractor.

La busqueda de efectos sonoros en un atractor, no es un poco como encontrar la cara de mi abuelo, en el antiguo ruido televisivo, al finalizar la programación?. No digo que infructuosa, yo no lo se, pero ardúa, e imposible predecir si se encontrará algo interesante. Si me permites la broma, ¿hace falta mucha fe? :D. Por eso te preguntaba por tu método de trabajo (imagino rastreo paciente milésima a milésima, parámetro a parámetro).

Encantado de tus respuestas, son muy interesantes.
Subir
Robakun
#26 por Robakun el 02/07/2005
bueno, pero tu venías preguntando por algo muy práctico, buscabas un programador de C. Tal vez, si lo anuncias como hilo independiente: "Se busca programador/aventurero de C". Es broma, pero lo de hilo independiente, lo digo en serio, quizás te ayude más que uno de csound aquí.
Subir
ignasi
#27 por ignasi el 02/07/2005
Robakun escribió:
La busqueda de efectos sonoros en un atractor, no es un poco como encontrar la cara de mi abuelo, en el antiguo ruido televisivo, al finalizar la programación?. No digo que infructuosa, yo no lo se, pero ardúa, e imposible predecir si se encontrará algo interesante. Si me permites la broma, ¿hace falta mucha fe?


Fe Mía

No me fío de la Rosa de papel,
tantas veces que la hice yo, con mis manos.
Ni me fío de la otra, Rosa verdadera,
hija del sol y sazón, la prometida del viento.
De tí, que nunca te hice.
De tí, que nunca te hicieron.
De tí me fío, redondo, seguro azar

Pedro Salinas, 1923

Estos versos han estado resonando en mi cabeza mientras escribíamos todo lo anterior, y ahora que hablas de fe, viene de perillas, pues, si la Rosa de papel son los sintes normales y la Rosa verdadera, los instrumentos acústicos; entonces, igual que el poeta, pongo mi fe en el seguro azar de los atractores, redondeados por la digitalización.
Pero esa es una fe "a plazos" a la que realmente no puedo dedicar demasiado tiempo, por lo que de momento tampoco quiero emprender una búsqueda "formal" de colaboración, pues no sé si tendré disponibilidad para la dedicación que en buena correspondencia debería destinar por mi parte.
En cualquier caso, todavía hay algunas cosas que espero mejorar para que los resultados no sean tan "noise". En el momento en que pueda robar un poco de dedicación, quiero probar si se puede implementar en
http://www.sonicbirth.com , pues parece que sí, y en el formato AU de sonicbirth seguramente tendremos mejores prestaciones (o un código más optimizado que mis chapuzas con las señales de control en csound).
Pero bueno : lo repito : si álguien se anima a pensarlo conmigo (que es más difícil que implementarlo) pues estoy abierto !! y si para "pensarlo" tiene que implementarlo por su cuenta, como te dije, imagino que no será muy difícil entender y recrear un csound con tan pocos opcodes como el mío.


Robakun escribió:
Si fuera posible, enchufar , un altavoz a la superficie de agua de un torrente, bajo ciertas condiciones, ya tendríamos ahí efectos todo tipo de alineales, y con mucha suerte nos visitaría algún atractor.


una hermosa idea !! La forma "geográfica" de los torrentes es uno de los temas que estudia Mandelbrot y, cómo no, está repleto de fractales: por qué no su superfície ?

Robakun escribió:
Dicho de forma aun más sencilla, implementar una caja de las sorpresas. ¿es así?


Si, así es, pero como te decía antes, creo que es más interesante ver si utilizando estos atractores podemos descubrir algo así como una nueva "harmonía", en el sentido que la Harmonía es como una propiedad emergente de un sistema lineal: a qué equivaldria en estos sistemas no-lineales ? Si la Harmonía implica el temperamento, o viceversa, entonces ¿qué hacer con las 127 teclas MIDI cuando la estructura de los sonidos es totalmente no-lineal ? Eso es lo que me interesa pensar, y para lo que realmente pido ayuda. Lo que dices de utilizarlos como fuente de modulación, puede ser interesante, pero en todo caso será más fructífero también una vez hayamos podido responder a las preguntas anteriores... creo ?
Subir
ignasi
#28 por ignasi el 02/07/2005
... por cierto : y lo digo también a la atención de los administradores del foro : se considera en este foro una falta de netiqueta reproducir las conversaciones en otro sitio ? parece que lo que se ha dicho vale bastante la pena y en los foros ya se sabe: en dos semanas enterrado a trescientos topics de profundidad ...
Subir
Robakun
#29 por Robakun el 05/07/2005
Tenemos una fuerte tendencia, a reducir las compresiones en parejas de términos opuestos: Macro/Micro, Música/Sonido, Comprensión/Atención, Azar/necesidad, Tu/yo (1 0 también). Muchas veces se nos olvida que son meras metáforas, poéticas, de una realidad más compleja y entrelazada. En ese sentido, estoy de acuedo, ni la rosa de papel, ni la real, sino la relación que nos une (inter-acción).
Subir
Robakun
#30 por Robakun el 05/07/2005
Te prometo que esta será mi última intervención, para no cargar el hilo, y a tí. Una cuestión, que a menudo me planteo con ciertos trabajos "musicales" matemáticos. Lo planteo en términos de atractores.

Volviendo al Atractor de Lorentz. Desde el micronivel matemático, si se puede decir así, hay trayectorias, tramas, series, como quieras decirlo, que quedan confinadas en una región del espacio. Siendo 'región' un pasaporte a lo macro: desde el macronivel matemático, hay un doble disco o donut definido por una escala, unas dimensiones. Viendo, sólamente la región, lo macro, nos perdemos que las trayectorias, pese a que se mantienen dentro de esa compostura, se comportan azarosamente. Es 'como si', tomando un café, si siguiendo las normas establecidas que se esperan de tí, un día decides, dar vueltas al café en el sentido de las agujas del reloj, y otro, en el sentido contrario: desde el macro nivel, a nadie le importa eso. :D

Voy a imaginar un atractor artificial, como no tengo nivel matemático para ello, es muy posible que me salte algo importante, y el ejemplo no valga. Tengo una esfera, una región de puntos definidos por una fórmula sencilla, a veces se dice que eso es "el lugar geométrico de los puntos del espacio a la misma distancia de otro llamado centro". en cualquier caso, tengo una esfera-pelota. Ahora bien, imagina las trayectorias definidas de la siguiente manera. Un movimiento browniano en el espacio (como el de una mota de polvo en el aire, como el de saprístico cuando habla :D). Sólo que la probabilidad de que se mueva en dirección a la esfera, es mayor cuanto más cerca está de ella, eso se parece a una esfera con gravedad permisiva :D. Cuando la trayectoria entra en la esfera, se mantiene pegada a ella; se mueve brownianamente, pero confinada en una forma esférica. Al definir este algoritmo, tendríamos características similares al de lorentz, no? : dimensión fractal, y comportamiento tipo atractor. La única diferencia, es la complejidad de todo artificio.

En el micro nivel, hay trayectorias brownianas. En un nivel más macro hay algo así como una esfera browniana. Si mi interpretación 'sonora', se acentúa más hacia lo macro, tendré que interpretar 'esfera' como algo sonoro. Cosa que podría haber hecho antes de conocer el atractor-esférico. Por ejemplo la distancia de una fuente al que oye. De igual manera, debo buscar una interpretación adecuada 'sonora', al doble disco de lorentz. Porque lo que ocurre en el micro nivel, siempre puede ser simulado estadísticamente, ¿no?.

Todo este embrollo, viene a plantear la cuestion, de si los atractores clásicos (aquellos que históricamente dieron alguna sorpresa a alquien), aportan al sonido algo más que sencillez en las fórmulas y comportamiento educadamente complejo -que ya es mucho. Pero que siempre podrían replantearse con trabajo estadístico más concreto y aplicado. Utilizando otra metáfora, si me ayuda la cruz, no lo hace, porque ayudó a muchos hombres concretos ya, podría ser que a mi no me sirviera para nada, o que el círculo fuera más adecuado.

Yo no quiero convencer de nada, ¡no podría!, al contrario, gracias a tu aparición me estoy replanteando estas cosas. Esque siempre me pareció tan arbitrario el salto desde muchas fórmulas matemáticas a su aplicación, que me pregunto :"ah ¿sí? y por qué no de esta otra manera, igual de practicable". A menudo, las respuestas, tienen que ver con que es una solución estandard, publicable, que pertenece al bagaje de muchos (como la cruz), más que porque responde al problema concreto: es algo muy estético.
Subir
Respuesta rápida

Regístrate o para poder postear en este hilo